Le operazioni, i concetti e le relazioni possono essere rappresentati con azioni e immagini nonché in modo linguistico-simbolico. Per l'apprendimento orientato alla comprensione è importante cambiare tra queste tre forme di rappresentazione. Per questa ragione devono essere create situazioni di apprendimento durante le quali situazioni concrete o rappresentazioni in immagini vengono tradotte nel linguaggio tecnico astratto o, viceversa, concetti o espressioni matematiche vengono concretizzati. Gli allievi si confrontano con materiale illustrativo, modelli e strutture ricchi di contenuti matematici. In questo modo riescono a comprendere meglio fattispecie matematiche, acquisire evidenze e applicare operazioni, concetti, procedure e piani.
L'esercizio produttivo si orienta alle strutture matematiche. In simili situazioni di apprendimento, gli allievi calcolano singole operazioni e acquisiscono una maggiore speditezza. Le relative strutture possono essere esplorate, rappresentate, proseguite, cambiate e motivate. La destrezza nel calcolo si basa su relazioni di cui si diventa coscienti durante l'esercizio produttivo.
Gli allievi devono disporre con prontezza di conoscenze e risultati di calcoli fondamentali. Gli allievi che sanno a memoria le tabelline dall'1 al 10 sono in grado di imparare su questa base le tabelline dall'11 al 20 o di stimare prodotti di operazioni con numeri più grandi. L'apprendimento della matematica comprende non soltanto la ripetizione, il ricordarsi, l'automatizzazione e l'allenamento, bensì anche l'esplorazione e l'argomentazione.
Un'automatizzazione troppo precoce e non orientata all'immaginazione e alla comprensione può sì favorire successi nell'apprendimento a corto termine, ma essa ostacola ulteriori processi di apprendimento.
Esercizi ricchi di informazioni si orientano a strutture matematiche od oggettive che possono essere scoperte e utilizzate. Essi lasciano spazio a vie di soluzioni, soluzioni, strategie, rappresentazioni, ausili e spazi numerici. Lasciando tale spazio, sono accessibili per tutti gli allievi e possono essere elaborati a livelli differenti.
Esercizi chiusi che apparentemente ammettono un solo risultato o una sola soluzione possono spesso essere arricchiti. Per fare questo, gli insegnanti inseriscono ad es. un'espressione in una serie di esercizi strutturata e invitano così al confronto e al trasferimento in un'altra rappresentazione.
I processi di apprendimento e i relativi risultati in matematica che vengono valutati e giudicati si riferiscono alle competenze descritte nel Piano di studio. In tale contesto sono importanti i feedback concreti individuali agli allievi. Questi feedback sostengono l'allievo nella stima delle proprie capacità e nella pianificazione di ulteriori fasi di apprendimento.
In situazioni di valutazione le verifiche dell'apprendimento e i test vengono completati con esercizi ricchi di informazioni. In tale contesto le prestazioni degli allievi vengono stimate secondo criteri qualitativi.
Viene ad esempio valutato come gli allievi
- applicano il sapere e le capacità;
- riflettono in modo orientato alla materia;
- espongono e documentano in modo comprensibile domande, ragionamenti e vie di soluzione;
- rielaborano esercizi risolti in modo insufficiente.
In determinati momenti, le informazioni raccolte da controlli dell'apprendimento, esami, situazioni di valutazione con esercizi ricchi di informazioni, presentazioni e protocolli di soluzione relativi a esercizi di ricerca, colloqui sulla situazione scolastica e diari di apprendimento vengono concentrate in una valutazione complessiva. (vedi anche Basi, capitolo Concetto di apprendimento e insegnamento)
Gli allievi imparano la matematica con efficacia attraverso il proprio agire e la scoperta individuale nonché degli altri e nello scambio con gli altri. L'apprendimento in comune è in continua interazione con l'apprendimento individuale. A tale scopo sono necessari esercizi ricchi e significativi dal punto di vista della materia. Ad esempio, gli allievi li elaborano dapprima in modo autonomo. In seguito scambiano con gli altri le procedure scelte, le loro rappresentazioni e le loro soluzioni. Questo scambio precede la spiegazione di convenzioni e regole matematiche.
L'insegnante crea il quadro specialistico. Esso prepara le lezioni, crea ambienti di apprendimento e introduce problematiche ed esercizi che favoriscono la comprensione degli allievi. Durante la fase di lavoro, osserva gli allievi, chiede se tutto è chiaro, offre accessi adeguati, invita a presentare motivazioni, spiega punti centrali e richiama l'attenzione su modi di scrivere e di esprimersi correttamente dal punto di vista matematico.
L'eterogeneità delle prestazioni può essere affrontata con una differenziazione interna e con il principio della differenziazione naturale. In caso di differenziazione interna, gli insegnanti assegnano agli allievi esercizi, forme di elaborazione e ausili conformemente alle conoscenze preliminari, alle possibilità di prestazione e alla necessità di sostegno.
Durante le lezioni, gli esercizi ricchi di informazioni differenziano in modo naturale: essi contengono requisiti per l'intero spettro di prestazioni. Gli allievi elaborano lo stesso esercizio a seconda delle loro capacità e rappresentano le loro vie di soluzione e le soluzioni in modo individuale. Gli insegnanti creano esercizi adatti, offrono assistenza durante l'elaborazione e forniscono aiuti individuali per garantire la migliore promozione possibile.
La matematica pone l'accento sulla promozione delle competenze metodologiche in quanto invita gli allievi a variare sistematicamente, a ricavare informazioni, a ordinare e utilizzare dati, a fare supposizioni, a cercare analogie, a pianificare una via di soluzione, a verificare i risultati, a schizzare situazioni di fatto o a rappresentare dati sotto forma di tabella. L'insegnamento della matematica contribuisce anche allo sviluppo di competenze personali, come l'autonomia e la capacità di riflessione, ad esempio quando gli allievi elaborano degli esercizi in maniera autonoma, cercano vie di soluzione, esplorano, argomentano, verificano soluzioni nonché riflettono su modi di procedere e rappresentazioni. (vedi anche Basi, capitolo Competenze trasversali)
Nei primi anni di formazione vengono sviluppate basi importanti per il futuro successo scolastico in matematica. Al più tardi a partire dal 4° anno di vita, la maggior parte dei bambini amano contare e mostrano interesse per numeri e forme. Un insegnamento orientato allo sviluppo e alle competenze riprende questi motivi e consente di accedere a ulteriori conoscenze. Al centro vi sono l'esplorazione giocosa, le prime esperienze, la scoperta e la rappresentazione di relazioni matematiche, l'avvicinamento alla logica matematica, il potenziamento di strategie matematiche e la relativa discussione. In linea di principio valgono gli stessi principi didattici applicati per l'intero settore disciplinare Matematica: i bambini si riallacciano alle proprie conoscenze pregresse, cercano vie o soluzioni proprie e scambiano tra di loro le esperienze fatte. Offerte e differenziazioni variegate tengono conto delle grandi differenze nel sapere e nella comprensione. (vedi anche Basi, capitolo Tematiche prioritarie del 1° ciclo)
